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知识回顾

在 矩阵的四个基本空间, 不了解下吗? 中, 介绍了实矩阵的四个基本空间的正交关系

操练起来!

$\LaTeX$ 输出表格一般情况是不容易的, 但在 Emacs 中, 利用 快捷键 实现 快捷操作, 创建 $\LaTeX$ 表格就容易多了.

Gram 矩阵

假设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阶矩阵,

1. 列向量 Gram 矩阵
   $A$ 由列向量 $\mathbf{\alpha}_i$ 表示, 即 $$A=\begin{bmatrix}\mathbf{\alpha}_1 & \mathbf{\alpha}_2 &\cdots & \mathbf{\alpha}_n \end{bmatrix}$$ 则

2. 行向量 Gram 矩阵
   $A$ 由行向量 $\mathbf{\beta}_i^{\mathsf T}$ 表示, 即 $$A=\begin{bmatrix}\mathbf{\beta}_1^{\mathsf T} \\\\ \mathbf{\beta}_2^{\mathsf T} \\\\ \vdots \\\\ \mathbf{\beta}_m^{\mathsf T} \end{bmatrix}$$ 则

6 大性质

下面只考虑列向量 Gram 矩阵

之前介绍过矩阵有四个基本空间

并且有两组正交关系

有了空间，若想继续研究，就需要找一些 ..代表.. ，即 ..基底..

普通基底

本小节用到的技术手段很简单－－ ..初等行变换..

在简述有限元系列等工程应用中，我们经常遇到“方程多于未知数”的超定方程组。此时，最小二乘法（Least Squares）不仅是一种数据拟合的计算技巧，更展示了线性代数中四个基本子空间之间优美的几何关系。

秩-零化度定理告诉我们: $m\times n$ 阶矩阵 $A$ 的零空间(Nullspace) $N(A)$ 和列空间(Column sapce) $C(A)$ 的关系:

本次依据秩-零化度定理, 介绍四个基本空间, 并证明它们的正交性关系, 最后, 给出一道经典例题.

四个基本空间

将矩阵 $A$ 行列互换, 称为 $A$ 的转置, 记为 $A^{\mathsf T}$. 则对应的: $C(A^{\mathsf T})$ 表示 $A$ 的行空间(Row space), 对应地将 $N(A^{\mathsf T})$ 称为 $A$ 的左零空间(Left nullspace).

在人工智能, 机器学习, 深度学习的浪潮中, ..数学.. 知识的发展与应用起着至关重要的作用.

线性代数(高等代数)不同于微积分(数学分析), 线代是不断前进发展的学科, 在实际应用中产生新问题回馈到教学中, 而后教学又可以促进实际应用.

「秩-零化度定理」

如下图所示, 线性变换 $T$ 从有限维向量空间 $\mathcal{V}$ (定义域)映射到有限维向量空间 $\mathcal{W}$ (陪域)，记为 $T:\mathcal{V}\to\mathcal{W}$