MatNoble
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矩阵的列空间

“前菜”

将向量 α=[125]T\alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}^{\mathsf T} 扩充

$$ \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha \bigr] = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ 5 & 15 \end{bmatrix} $$

因为列向量呈倍数关系，所以矩阵 A\boldsymbol{A} 的列秩为11。检查一下，矩阵 A\boldsymbol{A} 的三个行向量也有倍数关系，行秩也是11

继续扩充，

\begin{equation} \label{eq:1} \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha,\ 2\alpha,\ 4\alpha \bigr] = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \\ 5 & 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} \end{equation}

检查一下，扩充之后依旧成立：行秩 == 列秩 =1= 1

式(\ref{eq:1})可以写为:

\begin{equation}\label{eq:2} \begin{aligned} \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha,\ 2\alpha,\ 4\alpha \bigr] &= \alpha\bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr] \\[3pt] &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} \bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr] \\[3pt] & = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \\ 5 & 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}

式(\ref{eq:2})可以说明:

  • 只考虑列向量扩充矩阵，行向量存在与列向量的不变量 — 秩
  • A\boldsymbol{A} 的列向量全是列向量 α\alpha 的线性组合；
  • A\boldsymbol{A} 的行向量全是行向量 [1, 3, 2, 4]\bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr] 的线性组合；

矩阵 A\boldsymbol{A} 的列空间

$$ \begin{align*} \text{Column space of}\ \boldsymbol{A} &= C(\boldsymbol{A}) \\ &= \text{all vectors} \ \boldsymbol{A}\vec{x} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \boldsymbol{A}\vec{x} &= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \\[3pt] &= \begin{bmatrix} 1\\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}x_1 + \begin{bmatrix} 4\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}x_2 + \begin{bmatrix} 5\\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}x_3 \end{align*} $$

其中 x⃗\vec{x} 任意取, A\boldsymbol{A} 的列空间即: A\boldsymbol{A} 的列的所有线性组合

因为

$$ \begin{bmatrix} 1\\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} $$

所以 A\boldsymbol{A} 的列空间表示一个平面(plane)

A=CR\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{R}

矩阵 A\boldsymbol{A} 可以写成如下矩阵分解的形式:

\begin{equation} \label{eq:3} \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}} \right] \end{equation}

第一个矩阵记为 C\boldsymbol{C}，它的列向量全部来自矩阵 A\boldsymbol{A}，并且是列满秩。实际，C\boldsymbol{C} 是矩阵 A\boldsymbol{A} 的列向量中任意一个最大线性无关组

第二个矩阵记为 R\boldsymbol{R}，它包含一个与行数同阶的单位矩阵(有可能是分散的)

任意矩阵都可以做如上分解，称为 CR 分解。

行秩 ≡\equiv 列秩

分解式 (\ref{eq:3}) 可以说明:

  1. 矩阵 C\boldsymbol{C} 的列向量是矩阵 A\boldsymbol{A} 列空间的(一组)基底，所以列秩=r(=2) = r (=2)
  2. 矩阵 R\boldsymbol{R} 的行向量是矩阵 A\boldsymbol{A} 行空间的(一组)基底，所以行秩=r(=2) = r (=2) (因为R\boldsymbol{R} 含有单位矩阵)

所以行秩 ≡\equiv 列秩

小结

  • 虽然没有求 CR 分解的具体公式(计算复杂)，但是可以肯定所有矩阵都至少有一个 CR 分解，根据分解式，行秩 ≡\equiv 列秩是很显然的；
  • 当 r=1r=1 时, 就是“前菜”中呈现的例子。(秩1矩阵 An\boldsymbol{A}^n 问题)；
  • 矩阵 R\boldsymbol{R} 是矩阵 A\boldsymbol{A} 的行阶梯形矩阵；
  • CR 分解没有“实用”价值，不用于求解线性方程组；
  • 当 A\boldsymbol{A} 列满秩时，CR 分解是无意义的。

总结

矩阵可以看成是由列向量组成的，矩阵的列空间是矩阵所有列的线性组合。CR 分解中，C\boldsymbol{C} 是矩阵列空间的基底，R\boldsymbol{R} 是矩阵行空间的基底。