MatNoble
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矩阵的四个基本空间的基底

之前介绍过矩阵有四个基本空间

矩阵的四个基本空间

并且有两组正交关系

矩阵的四个基本空间正交关系

有了空间，若想继续研究，就需要找一些 ..代表.. ，即 ..基底..

普通基底

本小节用到的技术手段很简单－－ ..初等行变换..

假设有任意 m×nm\times n 阶矩阵 AA，经过一系列..初等行变换..得到行阶梯型矩阵 RR．因为这一系列初等行变换可对应地表示为一系列初等矩阵的乘积 EE，因此，上述过程可描述为:

E[AIm]=[RE] E\begin{bmatrix}A & I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix}

其中，行阶梯型矩阵 RR 可..分块..表示为:

R=[IrF00] R = \begin{bmatrix}I_r & F \\\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

IrI_r 为 rr 阶单位阵, FF 为 r×(n−r)r \times (n-r) 阶矩阵．

EE 为非奇异 mm 阶方阵，对应 RR 可..分块..表示为

E=[E1E2] E = \begin{bmatrix} E_1 \\\\[3pt] E_2 \end{bmatrix}

E1E_1 为 r×mr\times m 阶，E_２ 为 (m−r)×m(m-r)\times m 阶

综上

[RE]=[IrFE100E2] \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I_r & F & E_1\\\\ 0 & 0 & E_2\end{bmatrix}

矩阵 AA 的四个基本空间的基底信息全部蕴含在上式中

https://imgkr.cn-bj.ufileos.com/dcb900fa-a4ec-466d-a019-5e9a75079026.png

行空间 C(AT)C(A^{\mathsf T})

初等行变换不改变行空间，即

C(AT)=C(RT) C(A^{\mathsf T}) = C(R^{\mathsf T})

所以，[IrF]\left[ I_r \quad F \right] 构成 C(AT)C(A^{\mathsf T}) 的一组基底．

零空间 N(A)N(A)

初等行变换不改变零空间，即

N(A)=N(R)N(A) = N(R)

显然

P=[−FIn−r]P = \begin{bmatrix}-F \\\\[3pt] I_{n-r}\end{bmatrix}

满足 RP=0RP=0，且 PP 列满秩，所以，PP 构成矩阵 AA 的零空间．

列空间 C(A)C(A)

初等行变换改变列空间，但不改变矩阵列向量间的线性关系，即 AA 矩阵中 IrI_r 对应的列指标构成列空间的一组基底．(下有例题)

左零空间 N(AT)N(A^{\mathsf T})

EA=[E1AE2A]=[IrF00]=R EA = \begin{bmatrix} E_1A \\\\[3pt] E_2A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I_r & F \\\\ 0 & 0 \end{bmatrix} = R

由 E2A=0E_2A = 0，知 E2E_2 的行向量属于左零空间 N(AT)N(A^{\mathsf T})．因为 EE 非奇异，所以 E2E_2 的行向量也线性无关，构成 N(AT)N(A^{\mathsf T}) 的一组基底．

例题

假设一个 4×54\times 5 阶矩阵 AA

A=[26222131113934513123] A=\left[\begin{array}{lllll} {2} & {6} & {2} & {2} & {2} \\\\ {1} & {3} & {1} & {1} & {1} \\\\ {3} & {9} & {3} & {4} & {5} \\\\ {1} & {3} & {1} & {2} & {3} \end{array}\right]

求其 C(AT),N(A),C(A)C(A^{\mathsf T}), N(A), C(A) 以及 N(AT)N(A^{\mathsf T})

进行..初等行变换..

[AI4]→[RE] \begin{bmatrix}A & I_4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix} [262221000131110100393450010131230001]→ \left[\begin{array}{lllll|llll}{2} & {6} & {2} & {2} & {2} & {1} & {0} & {0} & {0} \\\\ {1} & {3} & {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} \\\\ {3} & {9} & {3} & {4} & {5} & {0} & {0} & {1} & {0} \\\\ {1} & {3} & {1} & {2} & {3} & {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \to

[1310−1−1728450001227−43−6700000−13203−3000004−6−11] \left[\begin{array}{rrrrr|rrrr}{1} & {3} & {1} & {0} & {-1} & {-17} & {28} & {4} & {5} \\\\ {0} & {0} & {0} & {1} & {2} & {27} & {-43} & {-6} & {7} \\\\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {-13} & {20} & {3} & {-3} \\\\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {4} & {-6} & {-1} & {1}\end{array}\right]

所以 r=2r=2，1,41, 4 列线性独立．以及

[I2F]=[1310−100012] \begin{bmatrix}I_2 & F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0& 0&1&2 \end{bmatrix} E2=[−13203−34−6−11] E_2 = \begin{bmatrix} -13&20&3&-3\\\\ 4&-6&-1&1 \end{bmatrix} P=[−3−1110001000−2001]P=\left[\begin{array}{rrr}{-3} & {-1} & {1} \\\\ {1} & {0} & {0} \\\\ {0} & {1} & {0} \\\\ {0} & {0} & {-2} \\\\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]

  • 行空间 C(AT)C(A^{\mathsf T})
    由 [IrF]\left[ I_r \quad F \right] 的行向量组成

    [1310−1][00012] \begin{bmatrix} 1\\\\3\\\\1\\\\0\\\\-1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0\\\\0\\\\0\\\\1\\\\2 \end{bmatrix}

  • 零空间 N(A)N(A)
    由 PP 的列向量组成

    [−31000][−10100][100−21] \begin{bmatrix} -3\\\\1\\\\0\\\\0\\\\0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -1\\\\0\\\\1\\\\0\\\\0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1\\\\0\\\\0\\\\-2\\\\1 \end{bmatrix}

  • 列空间 C(A)C(A)
    由 AA 的 1,41, 4 列构成

    [2131][2142] \begin{bmatrix} 2\\\\1\\\\3\\\\1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 2\\\\1\\\\4\\\\2 \end{bmatrix}

  • 左零空间 N(AT)N(A^{\mathsf T})
    由 E2E_2 的行向量组成

    [−13203−3][4−6−11] \begin{bmatrix} -13\\\\20\\\\3\\\\-3 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 4\\\\-6\\\\-1\\\\1 \end{bmatrix}

正交基底

将上述结果经过 Gram-Schmidt 正交化，即可得到对应的正交基．但是，还有更简单的方法，但涉及..奇异值分解..，故在之后的..奇异值分解系列..再讨论．